Question

5．如图，已知△ABC，以BC为直径，O为圆心的半圆交AC于点E，点E为弧CF的中点，连接BE交AC于点M，AD为△ABC的角平分线交BC于点D，且AD⊥BE，垂足为点H
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若AB=3，BC=4，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）连接EC，AD为△ABC的角平分线，得∠1=∠2，又AD⊥BE，可证∠3=∠4，由对顶角相等得∠4=∠5，即∠3=∠5，由E为$\widehat{CF}$的中点，得∠6=∠7，由BC为直径得∠E=90°，即∠5+∠6=90°，由AD∥CE可证∠2=∠6，从而有∠3+∠7=90°，得出即可；
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理可求AC=5，由∠3=∠4得AM=AB=3，则CM=AC-AM=2，证得△CME∽△BCE，利用相似比可得EB=2EC，进而根据勾股定理即可求得．

解答 （1）证明：连接EC，
∵AD⊥BE于H，∠1=∠2，
∴∠3=∠4
∵∠4=∠5，
∴∠4=∠5=∠3，
又∵E为$\widehat{CF}$的中点，
∴∠6=∠7，
∵BC是直径，
∴∠E=90°，
∴∠5+∠6=90°，
又∵∠AHM=∠E=90°，
∴AD∥CE，
∴∠2=∠6=∠1，
∴∠3+∠7=90°，
又∵BC是直径，
∴AB是半圆O的切线；

（2）解：∵AB=3，BC=4，
由（1）知，∠ABC=90°，
∴AC=5
在△ABM中，AD⊥BM于H，AD平分∠BAC，
∴AM=AB=3，
∴CM=2
∵∠6=∠7，∠E为公共角，
∴△CME∽△BCE，
得$\frac{EC}{EB}$=$\frac{MC}{BC}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴EB=2EC．
在RT△BCE中，根据勾股定理得，BE=$\frac{8}{5}$$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理等知识．关键是由已知条件推出相等角，构造互余关系的角推出切线，利用相等角推出相似三角形，由相似比得出边长的关系求解．