Question

19．（1）如图1，已知∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=6，CD=CE，AE=3，∠CAE=45°，求AD的长．
（2）如图2，已知∠ACB=∠DCE=90°，∠ABC=∠CED=∠CAE=30°，AC=3，AE=8，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）连接BE，证明△ACD≌△BCE，得到AD=BE，在Rt△BAE中，AB=6$\sqrt{2}$，AE=3，求出BE，得到答案；
（2）连接BE，证明△ACD∽△BCE，得到$\frac{AD}{BE}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求出BE的长，得到AD的长．

解答 解：（1）如图1，连接BE，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，
又∵AC=BC，DC=EC，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠BCE=∠ACD}\\{DC=EC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，
∵AC=BC=6，
∴AB=6$\sqrt{2}$，
∵∠BAC=∠CAE=45°，
∴∠BAE=90°，
在Rt△BAE中，AB=6$\sqrt{2}$，AE=3，
∴BE=9，
∴AD=9；
（2）如图2，连接BE，
在Rt△ACB中，∠ABC=∠CED=30°，
tan30°=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠BCE=∠ACD，
∴△ACD∽△BCE，
∴$\frac{AD}{BE}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵∠BAC=60°，∠CAE=30°，
∴∠BAE=90°，又AB=6，AE=8，
∴BE=10，
∴AD=$\frac{10}{3}\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握性质定理和判定定理是解题的关键，正确作出辅助线是重点．