Question

已知关于x的一元二次方程x²+（2m-1）x+m²=0有两个实数根x₁和x₂．
（1）求实数m的取值范围；
（2）是否存在m的值使得x₁x₂+x₁+x₂=0成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）∵关于x的一元二次方程x²+（2m-1）x+m²=0有两个实数根x₁和x₂，
∴△=b²-4ac=（2m-1）²-4×1×m²=-4m+1≥0，
解得m≤；

（2）不存在m的值，使得x₁x₂+x₁+x₂=0成立．理由如下：
∵x₁、x₂是一元二次方程x²+（2m-1）x+m²=0的两个实数根，
∴x₁+x₂=1-2m，x₁x₂=m²．
∴x₁x₂+x₁+x₂=m²+1-2m
若x₁x₂+x₁+x₂=0成立，则m²+1-2m=0，
解上述方程得，m=1．
∵（1）中m≤，（2）中m=1，
∴矛盾，
∴不存在m的值，使得x₁x₂+x₁+x₂=0成立．
分析：（1）根据已知可知，方程有两个实数根，那么△≥0，解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系x₁+x₂=1-2m，x₁x₂=m²，再利用x₁x₂+x₁+x₂=0成立求出m的值即可．
点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．