【题目】已知如图,点 C 在以 AB 为直径的⊙O 上,点 D 在 AB 的延长线上,∠BCD =∠A.
(1)求证:CD 为⊙O 的切线;
(2)过点 C 作 CE⊥AB 于点 E.若 CE = 2,cos D =,求 AD 的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】试题分析:(1)先连接CO,根据AB是⊙O直径,得出∠1+∠OCB=90°,再根据AO=CO,得出∠1=∠A,最后根据∠4=∠A,证出OC⊥CD,即可得出CD为⊙O的切线;
(2)根据OC⊥CD,得出∠3+∠D=90°,再根据CE⊥AB,得出∠3+∠2=90°,从而得出cos∠2=cosD,再在△OCE中根据余弦定义得出CO的值,根据勾股定理求出OE的值,利用sinD=sin∠2,求出OD的值,即可得出AD的长.
试题解析:证明:(1)连接CO.∵AB是⊙O直径,∴∠1+∠OCB=90°.∵AO=CO,∴∠1=∠A.∵∠4=∠A,∴∠4+∠OCB=90°.即∠OCD=90°,∴OC⊥CD.又∵OC是⊙O半径,∴CD为⊙O的切线.
(2)∵OC⊥CD于C,∴∠3+∠D=90°.∵CE⊥AB于E,∴∠3+∠2=90°,∴∠2=∠D,∴cos∠2=cosD.在△OCE中,∠OCD=90°,∴cos∠2=.∵cosD=,CE=2,∴,∴CO=,∴⊙O的半径为,∴OE===.∵sinD=sin∠2,
∴,∴,∴,解得:OD= ,AD=OD+OA==.
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【题目】如图,等边△ABC中,BC=6,D、E分别在BC、AC上,且DE∥AC,MN是△BDE的中位线.将线段DE从BD=2处开始向AC平移,当点D与点C重合时停止运动,则在运动过程中线段MN所扫过的区域面积为_____________.
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【题目】观察如图图形,把一个三角形分别连接其三边中点,构成4个小三角形,挖去中间的一个小三角形(如图1),对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法,……,据此解答下面的问题
(1)填写下表:
图形 | 挖去三角形的个数 |
图形1 | 1 |
图形2 | 1+3 |
图形3 | 1+3+9 |
图形4 |
|
(2)根据这个规律,求图n中挖去三角形的个数wn;(用含n的代数式表示)
(3)若图n+1中挖去三角形的个数为wn+1,求wn+1﹣Wn
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【题目】阅读下面的材料:
点A、B在数轴上分别表示实数a,b,A,B两点之间的距离表示为|AB|
当A、B两点中有一点在原点时,设点A在原点,如图①|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|
当A、B两点都不在原点时,
(1)如图②,点A,B都在原点的右边,|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|
(2)如图③,点A、B都在原点的左边,|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣(﹣a)=|a﹣b|
(3)如图④,点A、B在原点的两边,|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+(﹣b)=|a﹣b|
综上所述,数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|
请用上面的知识解答下面的问题:
(1)数轴上表示﹣2和﹣4的两点之间的距离是 ,数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 .
(2)数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是 ,如果|AB|=2,那么x为 .
(3)当|x+1|+|x﹣2|=5时的整数x的值 .
(4)当|x+1|+|x﹣2|取最小值时,相应的x的取值范围是 .
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【题目】阅读理解题
阅读材料:
两个两位数相乘,如果这两个因数的十位数字相同,个位数字的和是10,该类乘法的速算方法是:将一个因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘,所得的积作为计算结果的前两位,将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位(数位不足两位,用0补齐)。
比如,它们乘积的前两位是,它们乘积的后两位是,所以;
再如,它们乘积的前两位是,它们乘积的后两位是,所以;
又如,,不足两位,就将6写在百位:,不足两位,就将9写在个位,十位上写0,所以
该速算方法可以用我们所学的整式乘法与分解因式的知识说明其合理性;
设其中一个因数的十位数字为,个位数字是,(、表示1~9的整数),则该数可表示为,另一因数可表示为.
两数相乘可得:
.
(注:其中表示计算结果的前两位,表示计算结果的后两位。)
问题:
两个两位数相乘,如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同,另一因数的十位数字与个位数字之和是10.
如、、等.
(1)探索该类乘法的速算方法,请以为例写出你的计算步骤;
(2)设十位数字与个位数字相同的因数的十位数字是,则该数可以表示为___________.
设另一个因数的十位数字是,则该数可以表示为___________.(、表示1~9的正整数)
(3)请针对问题(1)(2)中的计算,模仿阅读材料中所用的方法写出如:的运算式:____________________
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【题目】如图,平面直角坐标系中,矩形 OABC 的 顶 点 A(0,3),C(- 1,0). 将 矩 形 OABC 绕原点顺时针旋转 900,得到矩形 OA’B’C’.解答下列问题:
(1)求出直线 BB’的函数解析式;
(2)直线 BB’与 x 轴交于点 M、与 y 轴交于点N,抛物线 y = ax2+ bx + c 的图象经过点C、M、N,求抛物线的函数解析式.
(3)将△MON 沿直线 MN 翻折,点 O 落在点P 处,请你判断点 P 是否在抛物线上,说明理由.
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【题目】已知:AB=AC,PA=PC,若PA为△ABC的外接圆⊙O的切线
(1) 求证:PC为⊙O的切线;
(2) 连接BP,若sin∠BAC=,求tan∠BPC的值.
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【题目】平面直角坐标系中,A、O两点的坐标分别为(2,0),(0,0),点P在正比例函数y=x(x>0)图象上运动,则满足△PAO为等腰三角形的P点的坐标为_____.
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【题目】当m,n是正实数,且满足m+n=mn时,就称点P(m,)为“完美点”.
(1)若点E为完美点,且横坐标为2,则点E的纵坐标为 ;若点F为完美点,且横坐标为3,则点F的纵坐标为 ;
(2)完美点P在直线 (填直线解析式)上;
(3)如图,已知点A(0,5)与点M都在直线y=﹣x+5上,点B,C是“完美点”,且点B在直线AM上.若MC=,AM=4,求△MBC的面积.
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