Question

如图，△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD于D，G为BC的中点，
求证：①DG∥AB；②DG=（AB-AC）．

Answer 1

证明：（1）延长CD交AB于K．
∵AD平分∠BAC，CD⊥AD于D，
∴AD是边KC的中垂线，
∴点D是线段KC的中点．
又∵G为BC的中点，
∴DG是△KBC的中位线，
∴DG∥KB，即DG∥AB；

（2）∵AD平分∠BAC，AD是边KC的中垂线，
∴AK=AC．
又∵DG是△KBC的中位线，
∴DG=KB=（AB-AK）=（AB-AC），即DG=（AB-AC）．
分析：（1）延长CD交AB于K．构建等腰△AKC，然后根据等腰三角形“三合一”的性质推知点D是KC的中点，即DG是△KBC的中位线．
（2）利用等腰△AKC的性质和△KBC的中位线定理推知DG=KB=（AB-AK）=（AB-AC）．
点评：本题考查了三角形中位线定理和等腰三角形的判定与性质．此题也可以通过全等三角形（△AKD≌△ACD）来证明点D是线段KC的中点．