Question

如图，△ABC为⊙O的内接三角形，∠A=60°，直径DE∥BC，AB、AC分别与DE相交于点F、G，若⊙O的半径为2，则线段FG的最大值为

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,垂径定理

专题：

分析：过O作OJ⊥BC交点J，利用垂径定理可求得BC的长，连接AO并延长交BC于点H，则可得

FG

BC

=

AO

AH

=

AO

AO+OH

，所以可知当OH最小时FG有最大值，即OH=OJ时FG有最大值，代入可得出答案．

解答：解：如图，过O作OJ⊥BC交点J，连接AO并延长交BC于点H，
∵∠A=60°，
∴∠BOC=120°，
∴∠OBJ=30°，且OB=2，
∴OJ=1，BJ=CJ=

3

，
∴BC=2

3

，
∵DE∥BC，
∴

FG

BC

=

AO

AH

=

AO

AO+OH

，即

FG

2 3

=

2

2+OH

，
∴FG=

4 3

2+OH

，
∴当OH最小时FG有最大值，即OH=OJ=1时FG有最大值，
此时FG=

4 3

3

，
故答案为：

4 3

3

．

点评：本题主要考查平行线分线段成比例，利用条件把FG用OH表示出来，判断出何时FG有最大值是解题的关键．