Question

如图，△ABC中，∠A=90°，角平分线BD、CE交于点I，IF⊥CE交CA于F，IH⊥AB于H，下列结论：①∠DIF=45°；②CF+BE=BC；③AE+AF=2AH；④S_{四边形△BEDC}=2S_△IBC，其中正确结论的个数为（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：角平分线的性质

专题：

分析：由条件可知I为△ABC的内切圆的圆心，设与BC、AC两边分别切于点J、G，连接IJ、IG，则可知IG⊥AC，IJ⊥BC，利用三角形内角和及角平分线的定义可求得∠BIC=135°，可求得∠CID=45°，则可得出①正确；可证明△IGD≌△IHE，则可判断②③正确；利用切线长定理可得△BIE≌△BIJ，△CID≌△CIJ，可判断④不正确．

解答：解：
由题意可知I为△ABC内切圆的圆心，
如图，设与BC、AC两边分别切于点J、G，连接IJ、IG，则可知IG⊥AC，IJ⊥BC，
∵BI、CI平分∠ABC和∠ACB，
∴∠BIC=180°-∠IBJ-∠ICJ=180°-

1

2

（∠ABC+ACB）=180°-

1

2

（180°-∠A）=90°+

1

2

∠A=135°，
∴∠CID=45°，
∵FI⊥CE，
∴∠DIF=90°-∠CID=45°，
∴①正确；
∵∠A=90°，IH⊥AB，IG⊥AC，
∴∠HIG=90°，
∴∠HIE+∠HIF=∠HIF+∠FIG=90°，
∴∠HIE=∠FIG，
在△HIE和△GIF中

∠EHI=∠FGI HI=IG ∠HIE=∠FIG

∴△HIE≌△GIF（ASA），
∴HE=GF，
又由切线长定理可知AH=AG，CG=CJ，BH=BJ，
∴AE+AF=AH+HE+AG-GF=2AH，CF+BE=CG+GF+BH-EH=CG+BH=BJ+CJ=BC，
∴②③正确；
且容易证明△BIE≌△BIJ，△CID≌△CIJ，
∴S_△BIH=S_△BIJ，S_△CIG=S_△CIJ，
∴S_△BIC=S_△BIH+S_△CIG=S_△BIE+S_△HIE+S_△CIF-S_△GIF=S_△BIE+S_△CIF，
∴S_{四边形BEDC}=2S_△BIC+S_△DIE＞2S_△BIC，
∴④不正确；
综上可知正确的为①②③，共三个，
故选C．

点评：本题主要考查角平分线的性质及切线的性质，掌握三角形角平分线的交点为内切圆的圆心，从而画出内切圆是解题的关键．