Question

将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC，继续旋转α（0°＜α＜120°）得到线段AD，连接CD．

（1）连接BD，
①如图1，若α=80°，则∠BDC的度数为

 

；
②在第二次旋转过程中，请探究∠BDC的大小是否改变．若不变，求出∠BDC的度数；若改变，请说明理由．
（2）如图2，以AB为斜边作直角三角形ABE，使得∠B=∠ACD，连接CE，DE．若∠CED=90°，求α的值．

Answer 1

考点：几何变换综合题

专题：

分析：（1）①根据图形旋转的性质可知AB=AC=AD，再由圆周角定理即可得出结论；
②不变，证明过程同①；
（2）过点AM⊥CD于点M，连接EM，先根据AAS定理得出△AEB≌△AMC，故可得出AE=AM，∠BAE=∠CAM，所以△AEM是等边三角形．根据AC=AD，AM⊥CD可知CM=DM．故可得出点A、C、D在以M为圆心，MC为半径的圆上．由圆周角定理可得出结论．

解答：解：（1）①∵线段AC，AD由AB旋转而成，
∴AB=AC=AD．
∴点B、C、D在以A为圆心，AB为半径的圆上．
∴∠BDC=

1

2

∠BAC=30°．
故答案为：30°． 
②不改变，∠BDC的度数为30°．
方法一：
由题意知，AB=AC=AD．
∴点B、C、D在以A为圆心，AB为半径的圆上．
∴∠BDC=

1

2

∠BAC=30°．
方法二：
由题意知，AB=AC=AD．
∵AC=AD，∠CAD=α，
∴∠ADC=∠C=

180°-α

2

=90°-

1

2

α．
∵AB=AD，∠BAD=60°+α，
∴∠ADB=∠B=

180°-(60°+α)

2

=

180°-α

2

=60°-

1

2

α．
∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=（90°-

1

2

α）-（60°-

1

2

α）=30°．

（2）过点AM⊥CD于点M，连接EM．
∵∠AMD=90°，
∴∠AMC=90°．
在△AEB与△AMC中，

∠AEB=∠AMC ∠B=∠ACD AB=AC

，
∴△AEB≌△AMC（AAS）． 
∴AE=AM，∠BAE=∠CAM．
∴∠EAM=∠EAC+∠CAM=∠EAC+∠BAE=∠BAC=60°．
∴△AEM是等边三角形．
∴EM=AM=AE． 
∵AC=AD，AM⊥CD，
∴CM=DM．
又∵∠DEC=90°，
∴EM=CM=DM．
∴AM=CM=DM． 
∴点A、C、D在以M为圆心，MC为半径的圆上．
∴α=∠CAD=90°．

点评：本题考查的是几何变换综合题，涉及到图形旋转的性质、等边三角形的性质及圆周角定理，难度适中．