Question

11．如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB=AE，延长AB与DE的延长线交于点F．下列结论中正确的有（　　）
①△ABC≌△EAD；②△ABE是等边三角形；③AD=BF；④S_△BEF=S_△ACD；⑤S_△CEF=S_△ABE．

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 由平行四边形的性质和角平分线的定义得出∠BAE=∠BEA，得出AB=BE=AE，得出②正确；
由△ABE是等边三角形得出∠ABE=∠EAD=60°，由SAS证明△ABC≌△EAD，得出①正确；
由S_△AEC=S_△DEC，S_△ABE=S_△CEF得出⑤正确；
③和④不正确．

解答 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠EAD=∠AEB，
又∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，
∵AB=AE，
∴△ABE是等边三角形；②正确；
∴∠ABE=∠EAD=60°，
在△ABC和△EAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AE}&{\;}\\{∠ABE=∠EAD}&{\;}\\{BC=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△EAD（SAS）；①正确；
∵△FCD与△ABC等底（AB=CD）等高（AB与CD间的距离相等），
∴S_△FCD=S_△ABC，
又∵△AEC与△DEC同底等高，
∴S_△AEC=S_△DEC，
∴S_△ABE=S_△CEF；⑤正确．
若AD与BF相等，则BF=BC，
题中未限定这一条件，
∴③不一定正确；
若S_△BEF=S_△ACD；则S_△BEF=S_△ABC，
则AB=BF，
∴BF=BE，题中未限定这一条件，
∴④不一定正确；
正确的有①②⑤．
故选：C．

点评 此题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积关系；此题比较复杂，注意将每个问题仔细分析．