Question

16．已知点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在二次函数y=x²+mx+n的图象上，当x₁=1，x₂=3时，y₁=y₂．
（1）①求m的值；②若抛物线与x轴只有一个公共点，求n的值；
（2）若P（a，b₁），Q（3，b₂）是函数图象上的两点，且b₁＞b₂，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）①利用当x₁=1，x₂=3时函数值相等得到1+m+n=9+3m+n，然后解关于m的方程即可得到m的值；
②根据△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点得到16-4n=0，然后解关于n的方程即可；
（2）讨论：当P（a，b₁），Q（3，b₂）在对称轴的右侧，利用二次函数的性质易得a＞3时，b₁＞b₂；当P（a，b₁），Q（3，b₂）在对称轴的两侧，通过比较两点到对称轴的距离的大小可判断a＜1时，b₁＞b₂．

解答 解：（1）①∵x₁=1，x₂=3时，y₁=y₂，
∴1+m+n=9+3m+n，
∴m=-4；
②∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴△=m²-4n=0，即16-4n=0，
∴n=4；
（2）∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当P（a，b₁），Q（3，b₂）在对称轴的右侧，则a＞3时，b₁＞b₂；
当P（a，b₁），Q（3，b₂）在对称轴的两侧，而当x₁=1，x₂=3时，y₁=y₂，则a＜1时，b₁＞b₂．
∴实数a的取值范围为a＜1或a＞3．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．对于二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．也考查了分类讨论思想的运用．