Question

【题目】如图，数轴上点、表示的有理数分别为－10、5，点是射线上的一个动点（不与点、重合），点是线段靠近点的三等分点，点是线段靠近点的三等分点.

（1）若点表示的有理数是0，那么的长为______；若点表示的有理数是1，那么的长为______.

（2）点在射线上运动（不与点、重合）的过程中，的长是否发生改变？若不改变，请求出的长；若改变，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）10，10；（2）的长不会发生改变，且.

【解析】

（1）由点P表示的有理数为0可得出AP、BP的长度，根据三等分点的定义可得出MP、NP的长度，再由MN＝MP+NP即可求出MN的长度；当点P表示的有理数为1时，利用同样的方法求解即可；

（2）设点P表示的有理数是a（a＞﹣10且a≠5），分﹣10＜a＜5及a＞5两种情况考虑，由点P表示的有理数可得出AP、BP的长度（用含字母a的代数式表示），根据三等分点的定义可得出MP、NP的长度（用含字母a的代数式表示），再由MN＝MP+NP（或MN＝MP﹣NP），即可求出MN的长，进而可作出判断．

解：（1）若点P表示的有理数是0，则AP＝10，BP＝5．

∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．

∴MP＝AP＝，NP＝BP＝，

∴MN＝MP+NP＝+=10；

若点P表示的有理数是1，则AP＝11，BP＝4．

∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点，

∴MP＝AP＝，NP＝BP＝，

∴MN＝MP+NP＝+=10．

故答案为：10，10；

（2）MN的长不会发生改变，理由如下：

设点P表示的有理数是a（a＞﹣10且a≠5）．

当﹣10＜a＜5时，如图1，AP＝a+10，BP＝5﹣a．

∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．

∴MP＝AP＝(a+10)，NP＝BP＝(5﹣a)，

∴MN＝MP+NP＝(a+10)+(5﹣a)=10；

当a＞5时（如图2），AP＝a+10，BP＝a﹣5．

∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．

∴MP＝AP＝(a+10)，NP＝BP＝( a﹣5)，

∴MN＝MP﹣NP＝(a+10)－( a﹣5)=10．

综上所述：点P在射线AB上运动（不与点A，B重合）的过程中，MN的长不会发生变化，且为定值10．