Question

【题目】已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点D（如图1).

(1)若AB=2，∠B=30°，求CD的长；

(2) 取AC的中点E,连结D、E（如图2），求证：DE与⊙O相切.

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】分析：连接AD ,根据AC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，得到∠CAB=∠ADB=90°，根据∠B=30°，解直角三角形求得的长度.

连接OD，AD.根据DE=CE=EA，∠EDA=∠EAD. 根据OD=OA，得到

∠ODA=∠DAO，得到∠EDA+∠ODA=∠EAD+∠DAO.得到∠EDO=90°即可.

详解：(1)如图，连接AD ,

∵AC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，

∴∠CAB=∠ADB=90°，

∴ΔCAB,ΔCAD均是直角三角形.

∴∠CAD=∠B=30°.

在RtΔCAB中，AC=ABtan30°=

∴在RtΔCAD中，CD=ACsin30°=

（2）如图，连接OD，AD.

∵AC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，

∴∠CAB=∠ADB=∠ADC=90°，

又∵E为AC中点，

∴DE=CE=EA，　

∴∠EDA=∠EAD.

∵OD=OA，

∴∠ODA=∠DAO，

∴∠EDA+∠ODA=∠EAD+∠DAO.

即：∠EDO=∠EAO=90°.　

又点D在⊙O上，因此DE与⊙O相切.

点睛：考查解直角三角形，圆周角定理，切线的判定与性质等，属于圆的综合题，比较基础.注意切线的证明方法，是高频考点.

【题型】解答题
【结束】
21

【题目】课外活动时间，甲、乙、丙、丁4名同学相约进行羽毛球比赛.

（1）如果将4名同学随机分成两组进行对打，求恰好选中甲乙两人对打的概率；

（2）如果确定由丁担任裁判，用“手心、手背”的方法在另三人中竞选两人进行比赛．竞选规则是：三人同时伸出“手心”或“手背”中的一种手势，如果恰好只有两人伸出的手势相同，那么这两人上场，否则重新竞选.这三人伸出“手心”或“手背”都是随机的，求一次竞选就能确定甲、乙进行比赛的概率.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】分析：列举出将4名同学随机分成两组进行对打所有可能的结果，找出甲乙两人对打的情况数，根据概率公式计算即可.

画树状图写出所有的情况，根据概率的求法计算概率.

详解：（1）甲同学能和另一个同学对打的情况有三种：

（甲、乙），（甲、丙），（甲、丁）

则恰好选中甲乙两人对打的概率为：

（2）树状图如下：

一共有8种等可能的情况，其中能确定甲乙比赛的可能为（手心、手心、手背）、（手背、手背、手心）两种情况，因此，一次竞选就能确定甲、乙进行比赛的概率为.