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【题目】如图1,MNEF,C为两直线之间一点.

(1)如图1,若MAC与EBC的平分线相交于点D,若ACB=100°,求ADB的度数.

(2)如图2,若CAM与CBE的平分线相交于点D,ACB与ADB有何数量关系?并证明你的结论.

(3)如图3,若CAM的平分线与CBF的平分线所在的直线相交于点D,请直接写出ACB与ADB之间的数量关系:

【答案】(1)ADB=50°;(2)ADB=180°﹣ACB;(3)ADB=90°﹣ACB.

【解析】

试题分析:(1)如图1,根据平行线的性质得到1=ADH,2=BDH,MAC=ACG,EBC=BCG,根据角平分线的定义得到1=ACG,2=,即可得到结论;

(2)根据平行线的性质得到1=ADH,2=BDH,NAC=ACG,FBC=BCG,根据角平分线的定义得到1=ACG,2=,根据平角的定义即可得到结论;

(3)根据平行线的性质得到1=ADH,2=BDH,NAC=ACG,FBC=BCG,根据平行线的定义得到1=MAC,2=CBF,根据四边形的内角和和角的和差即可得到结论.

解:(1)如图1,过C作CGMN,DHMN,

MNEF,

MNCGDHEF,

∴∠1=ADH,2=BDH,

MAC=ACG,EBC=BCG,

∵∠MAC与EBC的平分线相交于点D,

∴∠1=ACG,2=

∴∠ADB=ACG+BCG)=ACB;

∵∠ACB=100°,

∴∠ADB=50°;

(2)如图2,过C作CGMN,DHMN,

MNEF,

MNCGDHEF,

∴∠1=ADH,2=BDH,

NAC=ACG,FBC=BCG,

∵∠MAC与EBC的平分线相交于点D,

∴∠1=ACG,2=

∴∠ADB=1+2=MAC+EBC)=(180°﹣NAC+180°﹣FBC)=(360°﹣ACB),

∴∠ADB=180°﹣ACB;

(3)如图3,过C作CGMN,DHMN,

MNEF,

MNCGDHEF,

∴∠1=ADH,2=BDH,

NAC=ACG,FBC=BCG,

∵∠MAC与FBC的平分线相交于点D,

∴∠1=MAC,2=CBF,

∵∠ADB=360°﹣1﹣(180°﹣2)﹣ACB=360°﹣MAC﹣(180°﹣CBF)﹣ACB=360°﹣(180°﹣ACG)﹣(180°﹣BCG)=90°﹣ACB.

∴∠ADB=90°﹣ACB.

故答案为:ADB=90°﹣ACB.

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证明:∵HG∥AB(已知)

∴∠1=∠3 (

又∵HG∥CD(已知)

∴∠2=∠4(同理)

∵AB∥CD(已知)

∴∠BEF+ =180° (

又∵EG平分∠BEF(已知)

∴∠1=

又∵FG平分∠EFD(已知)

∴∠2=∠EFD (同理)

∴∠1+∠2= +

∴∠1+∠2=90°

∴∠3+∠4=90°

即∠EGF=90°.

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