Question

14．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，∠ACB的平分线CM分别与AB，⊙O交于点N，M，且PC=PN．
（1）求证：直线PC与⊙O相切；
（2）若AB长为5．BC长为3，连接AM，求AC，AM的长．

Answer 1

分析 （1）已知C在圆上，故只需证明OC与PC垂直即可；根据等腰三角形的性质和外角的性质，易得∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP；故PC是⊙O的切线；
（2）连接BM，根据圆周角定理得出AM=BM，然后根据勾股定理即可求得．

解答 （1）证明：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵OA=OC，
∴∠NAC=∠ACO．
又∵PC=PN．
∴∠PNC=∠PCN．
又∵∠PNC=∠ACN+∠CAN．∠PCN=∠NCB+∠PCB．
∵∠ACN=∠BCN，
∴∠CAN=∠ACO=∠PCB，
∴ACO+∠OCB=∠PCB+∠OCB，即∠ACB=∠PCO=90°，
∴OC⊥PC，
∵OC是⊙O的半径．
∴PC是⊙O的切线．
（2）连接BM，
∵∠ACB=90°，AB长为5．BC长为3，
∴在RT△ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=4，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AMB=90°，
∵∠ACM=∠BCM，
∴AM=BM，
∴在RT△ABM中，AM=$\sqrt{\frac{A{B}^{2}}{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．

点评 此题主要考查圆的切线的判定、等腰三角形的性质及圆周角定理的运用和勾股定理的应用．是一道综合性的题目，难度中等偏上．