Question

13．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是BC边上一点，连结AE交BD于点F，G是AC上一点，B、G关于直线AE对称．求证：四边形BEGF为菱形，并请直接写出图中与线段AG相等的所有线段．

Answer 1

分析 首先根据轴对称的性质可得AE垂直平分BG，进而利用垂直平分线的性质得到AB=AG，BF=GF，BE=EG，然后结合正方形的性质可以求出∠1，∠2，∠BEA，∠BFE的度数，进而得到∠BEA=∠BFE，并利用等角对等边可知BE=BF，从而得到BE=EG=BF=GF，利用菱形的判定方法可知四边形BEGF是菱形，再结合正方形的性质可知正方形的各边与AG相等，可求得∠AFD=∠FAD=67.5°，进而可知DF=AD，即可得出与AG相等的线段．

解答 证明：在正方形ABCD中，∠CBA=90°，∠CAB=45°，

连结BG，
∵B、G关于直线AE对称，
∴AE垂直平分BG，
∴AB=AG，BF=GF，BE=EG，
∵AE⊥BG，
∴∠1=∠2=$\frac{1}{2}∠BAC$=22.5°，
∴∠BEA=90°-∠1=67.5°，
∴∠BFE=∠1+∠DBA=67.5°，
∴∠BEA=∠BFE，
∴BE=BF，
∴BE=EG=BF=GF，
∴四边形BEGF为菱形，
与AG相等的线段有AB、BC、CD、AD、DF．

点评 本题综合考查了菱形的判定，轴对称的性质，垂直平分线的性质，正方形的性质，等腰三角形的判定等知识，具有一定的综合性，正确识图并熟知各个性质与判定是解题的关键．