Question

【题目】若矩形的一个短边与长边的比值为，（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形

（1）操作：请你在如图所示的黄金矩形ABCD（AB＞AD）中，以短边AD为一边作正方形AEFD．

（2）探究：在（1）中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由．

（3）归纳：通过上述操作及探究，请概括出具体有一般性的结论（不需证明）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）矩形EBCF不是黄金矩形，理由见解析；（3）若以黄金矩形的短边为边在矩形内作（截割）正方形，则剩余矩形必为黄金矩形.

【解析】

（1）如图，分两种情况：正方形中，AD的对边在矩形的内部或外部；

（2）矩形EBCF不是黄金矩形， 设AB=a，AD=b（a＞b），则BE=BA+AE=a+b，BE′=BA-E′A=a-b，由已知得=，所以==÷（1+）=÷（1+）=≠，对应边不成比例，故矩形EBCF不是黄金矩形；矩形E′BCF′是黄金矩形，

理由：==（1-）÷=（1-）÷=，即对应边成比例，故两个矩形相似.

（3）由（1）、（2）可发现结论：若以黄金矩形的短边为边在矩形内作（截割）正方形，则剩余矩形必为黄金矩形.

解：（1）以AD为边可作出两个正方形AEFD与AE′F′D′（AB＞AD），如图所示

（2）矩形EBCF不是黄金矩形，理由如下：

设AB=a，AD=b（a＞b），则BE=BA+AE=a+b，BE′=BA-E′A=a-b，

由ABCD为黄金矩形，得=

∴==÷（1+）=÷（1+）=≠

∴矩形EBCF不是黄金矩形;

矩形E′BCF′是黄金矩形.

证明：如图，∵==（1-）÷=（1-）÷=

∴E′BCF′是黄金矩形

（3）由（1）、（2）可发现结论：若以黄金矩形的短边为边在矩形内作（截割）正方形，则剩余矩形必为黄金矩形.