Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，有不重合的两个点Q（x1，y1）与P（x2，y2）．若Q，P为某个直角三角形的两个锐角顶点，且该直角三角形的直角边均与x轴或y轴平行（或重合），则我们将该直角三角形的两条直角边的边长之和称为点Q与点P之间的“折距”，记做DPQ．特别地，当PQ与某条坐标轴平行（或重合）时，线段PQ的长即点Q与点P之间的“折距”．例如，在图1中，点P（1，-1），点Q（3，-2），此时点Q与点P之间的“折距”DPQ=3．

（1）①已知O为坐标原点，点A（3，-2），B（-1，0），则DAO=______，DBO=______．

②点C在直线y=-x+4上，请你求出DCO的最小值．

（2）点E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，点F是直线y=3x+6上以动点．请你直接写出点E与点F之间“折距”DEF的最小值．

Answer 1

【答案】（1）①5；1；②DCO的最小值为4；（2）DEF的最小值为．

【解析】

（1）①根据“折距”的定义可得DAO=|3|+|-2|=5，DBO=BO==1即可求解；②设点C（m，4-m），则DCO=|m|+|4-m |，当0≤m≤4时，DO最小，即可求解；

（2）过点E分别作x、y轴的平行线交直线y=3x+6于F1、F2，则EF1是“折距”DEF的最小值，即求EF1的最小值即可，当点E在y轴左侧于平行于直线y=3x+6的直线相切时，EF1最小，即可求解．

解：（1）①DAO=|3|+|-2|=5，DBO=BO=1，

故答案为：5，1；

②设点C（m，4-m），则DCO=|m|+|4-m|，

当m＜0时，DCO=-m+4-m=4-2m＞4；

当0≤m≤4时，DCO=m+4-m=4；

当m＞4时，DCO=m+m-4=2m-4＞4，

综上可知，当0≤m≤4时，DCO取得最小值，DCO的最小值为4；

（2）如图2，过点E分别作x、y轴的平行线交直线y=3x+6于F1、F2，则EF1是“折距”DEF的最小值，即求EF1的最小值即可，

又当点E在y轴左侧于平行于直线y=3x+6的直线相切时，EF1最小，如图3，将直线y=3x+6向右平移与圆相切于点E，平移后的直线与x轴交于点G，连接OE，过E作EF1∥x轴交直线y=3x+6于点F1，此时EF1即为DEF的最小值．

设原直线与x、y轴交于点M、N，则点M、N的坐标分别为（-2，0）、点N（0，6），

则MN=2，

又MN∥EG，∴∠NMO=∠EGO，又∠MON=∠OEG=90°，

∴△MON∽△GEO，

∴，即，

∴GO=，

又EF1∥MG，F1M∥EG，

∴四边形EF1MG为平行四边形，

∴EF1=MG=OM-OG=2-=．