Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，tan∠ACB＝，将其沿对角线AC剪开得到△ABC和△ADE（点C与点E重合），将△ADE绕点A旋转，当线段AD与AB在同一条直线上时，连接EC，则∠ECB的正切值为_____．

Answer 1

【答案】或3

【解析】

分两种情况：①由三角函数定义求出BC=2AB，由旋转的性质得出AD'=AD=2AB=2BD'，D'E=DE=AB，∠AD'E=90°，证明△BCF∽△D'EF，得出 =2，
求出BF= BD'= BC，由三角函数定义即可得出答案；
①作EG⊥BC于G，交AD于F，则EG=D'B=3AB，D'E=BG=AB，得出CG=BG=AB，由三角函数定义即可得出答案．

分两种情况：

①如图1所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠D=∠ABC=90°，
∵tan∠ACB= ，
∴BC=2AB，
由旋转的性质得：AD'=AD=2AB=2BD'，D'E=DE=AB，∠AD'E=90°，
∴D'E∥BC，
∴△BCF∽△D'EF，

∴ =2，
∴BF= BD'= BC，

∴∠ECB的正切值=；
①如图2所示：作EG⊥BC于G，交AD于F，
则EG=D'B=3AB，D'E=BG=AB，
∴CG=BG=AB，
则∠ECB的正切值= =3；
综上所述，∠ECB的正切值为或3；
故答案为：或3．