Question

【题目】如图，点F在ABCD的对角线AC上，过点F、B分别作AB、AC的平行线相交于点E，连接BF，∠ABF＝∠FBC+∠FCB．

（1）求证：四边形ABEF是菱形；

（2）若BE＝5，AD＝8，sin∠CBE＝，求AC的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）由外角的性质可得∠AFB=∠FBC+∠FCB，又因为∠ABF=∠FBC+∠FCB，易得AB=AF，由菱形的判定定理可得结论；

（2）作DH⊥AC于点H，由特殊角的三角函数可得∠CBE=30°，由平行线的性质可得∠2=∠CBE=30°，利用锐角三角函数可得AH，DH，由菱形的性质和勾股定理得CH，得AC．

（1）证明：∵EF∥AB，BE∥AF，

∴四边形ABEF是平行四边形．

∵∠ABF＝∠FBC+∠FCB，∠AFB＝∠FBC+∠FCB，

∴∠ABF＝∠AFB，

∴AB＝AF，

∴ABEF是菱形；

（2）作DH⊥AC于点H，

∵，

∴∠CBE＝30°，

∵BE∥AC，

∴∠1＝∠CBE，

∵AD∥BC，

∴∠2＝∠1，

∴∠2＝∠CBE＝30°，

Rt△ADH中，，

DH＝ADsin∠2＝4，

∵四边形ABEF是菱形，

∴CD＝AB＝BE＝5，

Rt△CDH中，，

∴．