Question

【题目】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F，M，N分别为OA，OB，OC，OD的中点，连接EF，FM，MN，NE．

（1）依题意，补全图形；
（2）求证：四边形EFMN是矩形；
（3）连接DM，若DM⊥AC于点M，ON=3，求矩形ABCD的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图所示：

（2）证明：∵点E，F分别为OA，OB的中点，

∴EF∥AB，EF= AB，

同理：NM∥CD，MN= DC，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥DC，AB=DC，AC=BD，

∴EF∥NM，EF=MN，

∴四边形EFMN是平行四边形，

∵点E，F，M，N分别为OA，OB，OC，OD的中点，

∴EO= AO，MO= CO，

在矩形ABCD中，AO=CO= AC，BO=DO= BD，

∴EM=EO+MO= AC，

同理可证FN= BD，

∴EM=FN，

∴四边形EFMN是矩形

（3）解：∵DM⊥AC于点M，

由（2）MO= CO，

∴DO=CD，

在矩形ABCD中，

AO=CO= AC，BO=DO= BD，AC=BD，

∴AO=BO=CO=DO，

∴△COD是等边三角形，

∴∠ODC=60°，

∵MN∥DC，

∴∠FNM=∠ODC=60°，

在矩形EFMN中，∠FMN=90°．

∴∠NFM=90°﹣∠FNM=30°，

∵NO=3，

∴FN=2NO=6，FM=3 ，MN=3，

∵点F，M分别为OB，OC的中点，

∴BC=2FM=6 ，

∴矩形的面积为BCCD=36

【解析】（1）根据题目要求画出图形即可；（2）根据三角形中位线定理可得EF∥AB，EF= AB，NM∥CD，MN= DC，再由矩形的性质可得AB∥DC，AB=DC，AC=BD，进而可得四边形EFMN是矩形；（3）根据条件可得DM垂直平分OC，进而可得DO=CO，然后证明△COD是等边三角形，进而得出BC，CD的长，进而得出答案．