Question

【题目】已知：点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点（不与点B重合），连接AD．

（1）如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．求证：BD=CE，BD⊥CE．
（2）如图2，当点D在线段BC延长线上时，探究AD、BD、CD三条线段之间的数量关系，写出结论并说明理由；（3）若BD=CD，直接写出∠BAD的度数．
（3）若BD=CD，直接写出∠BAD的度数．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：如图1，

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∵∠DAE=90°，

∴∠DAE=∠CAE+∠DAC=90°，

∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，

∴∠BAD=∠CAE，

在△BAD和△CAE中，

，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD=CE，∠ACE=∠ABC=45°．

∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，

∴BD⊥CE；

（2）

解：2AD2=BD2+CD2，

理由：如图2，

将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．

与（1）同理可证CE=BD，CE⊥BD，

∵∠EAD=90°AE=AD，

∴ED=AD，

在RT△ECD中，ED2=CE2+CD2，

∴2AD2=BD2+CD2．

（3）

解：方法一：

如图3，

①当D在BC边上时，将线段AD1绕点A顺时针方向旋转90°得到线段AE，连接BE，

与（1）同理可证△ABE≌△ACD1，

∴BE=CD1，BE⊥BC，

∵BD=CD，

∴BD1=BE，

∴tan∠BD1E==，

∴∠BD1E=30°，

∵∠EAD1=∠EBD1=90°，

∴四边形A、D1、B、E四点共圆，

∴∠EAB=∠BD1E=30°，

∴∠BAD1=90°﹣30°=60°；

②将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AF，连接CF．

同理可证：∠CFD2=30°，

∵∠FAD2=∠FCD2=90°，

∴四边形A、F、D2、C四点共圆，

∴∠CAD2=∠CFD2=30°，

∴∠BAD2=90°+30°=120°，

综上，∠BAD的度数为60°或120°．

方法二：

①当D在线段BC上时，如图3，连接DE，则△DCE是直角三角形，∠DCE=90°；

∵BD=CD，CE=BD，

∴CE=CD，

∴∠EDC=60°，

∴∠ADB=180°﹣∠EDC﹣∠ADE=75°，

∴∠BAD=180°﹣∠B﹣∠BDA=60°；

②当B在BC延长线上时，如图3，△ECD是直角三角形，∠ECD=90°；

∵CE=BD，

∴CE=CD，

∴∠CED=30°，

∴∠AEC=45°﹣∠CED=15°，

∴∠CAE=180°﹣∠ACE﹣∠AEC=120°，

∴∠BAD=∠CAE=120°．

综上，∠BAD的度数为60°或120°．

【解析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，再根据旋转性质可得AD=AE，∠DAE=90°，然后利用同角的余角相等求出∠BAD=∠CAE，然后利用“边角边”证明△BAD和△CEF全等，从而得证；
（2）将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．与（1）同理可得CE=BD，CE⊥BD，根据勾股定理即可求得2AD2=BD2+CD2；
（3）分两种情况分别讨论即可求得．