Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，F是⊙O外一点，过点F作FD⊥AB于点D，交弦AC于点E，且FC=FE．

（1）求证：FC是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为5，cos∠FCE=，求弦AC的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）2

【解析】

（1）连接OC，因为FC=FE，所以∠FCE=∠FEC，又因为FD⊥AB，所以∠OAC+∠AED=90°，所以∠OCA+∠FCE=90°，从而可得∠OCF=90°．

（2）连接BC，由（1）可知：∠AED=∠FCE，因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB=90°，由于∠CAB+∠AED=90°，∠CAB+∠B=90°，所以∠B=∠AED=∠FCE，最后利用锐角三角函数的定义即可求出答案．

（1）连接OC，

∵FC=FE，

∴∠FCE=∠FEC，

∵∠FEC=∠AED，

∴∠AED=∠FCE，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠ACO，

∵FD⊥AB，

∴∠OAC+∠AED=90°，

∴∠OCA+∠FCE=90°，

∴∠OCF=90°，

∵OC是⊙O的半径，

∴FC是⊙O的切线；

（2）连接BC，

由（1）可知：∠AED=∠FCE，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°

∵∠CAB+∠AED=90°，∠CAB+∠B=90°

∴∠B=∠AED=∠FCE，

∴cos∠FCE=cos∠B=，

∴BC=4，

∴由勾股定理可知：AC=2