Question

13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD、CE分别是BC、AB边上的中线，且满足AD⊥CE，垂足为F，联结BF．
（1）请写出所有与△ACD相似的三角形，并选择其中一对三角形进行证明；
（2）求证：$\frac{BF}{AB}$=$\frac{BD}{AD}$．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到∠AFC=∠AFE=∠ACD=90°，推出△AFC∽△ACD；同理△CDF∽△ACD，根据相似三角形的性质得到∠ACE=∠ADC，根据直角三角形的性质得到CE=AE=BE=$\frac{1}{2}$AB，根据等腰三角形的性质得到∠CAE=∠ACE，求得∠CAE=∠ADC，于是得到△BAC∽△ADC；
（2）根据相似三角形的性质得到$\frac{CD}{AD}=\frac{DF}{CD}$，等量代换得到$\frac{BD}{AD}=\frac{DF}{BD}$，推出△BDF∽△ADB，于是得到结论．

解答 解：（1）与△ACD相似的三角形有△ACF，△CDF，△ABC
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD⊥CE，
∴∠AFC=∠AFE=∠ACD=90°，
∵∠CAD=∠FAC，
∴△AFC∽△ACD；同理△CDF∽△ACD，
∴∠ACE=∠ADC，
∵CE是中线，
∴CE=AE=BE=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠CAE=∠ACE，
∴∠CAE=∠ADC，
∴△BAC∽△ADC；

（2）∵△CDF∽△DAC，
∴$\frac{CD}{AD}=\frac{DF}{CD}$，
∵AD是BC边上的中线，
∴CD=BD，
∴$\frac{BD}{AD}=\frac{DF}{BD}$，
∵∠BDF=∠ADB，
∴△BDF∽△ADB，
∴$\frac{BF}{AB}$=$\frac{BD}{AD}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质．注意掌握有两边对应成比例且夹角相等三角形相似是关键．