Question

如图，已知∠AOB=60°，半径为2

3

的⊙M与边OA、OB相切，若将⊙M水平向左平移，当⊙M与边OA相交时，设交点为E和F，且EF=6，则平移的距离为（　　）

• A、2
• B、2或6
• C、4或6
• D、1或5

Answer 1

考点：切线的性质

专题：计算题,压轴题

分析：讨论：当将⊙M水平向左平移，当点M运动到M′位置时，作MC⊥OA于C点，M′H⊥OA于H，M′Q⊥MC于Q，连结M′E，根据切线的性质得MM′∥OB，MC=2

3

，再根据垂径定理得EH=

1

2

EF=3，在Rt△EHM′中利用勾股定理计算出HM′=

3

，则CQ=M′H=

3

，所以MQ=2

3

-

3

=

3

，然后利用含30°的直角三角形三边的关系可得到MM′；
当将⊙M水平向左平移，当点M运动到M″位置时，作MC⊥OA于C点，M″H⊥OA于H，M″M交OA于D点，同理得到MC=2

3

，M′H=

3

，利用平行线的性质得∠MDC=∠M″DH=∠AOB=60°，则∠HM″D=30°，∠CMD=30°，根据含30°的直角三角形三边的关系可得到M″D和MD，则可得到MM″=6．

解答：解：当将⊙M水平向左平移，当点M运动到M′位置时，如图
作MC⊥OA于C点，M′H⊥OA于H，M′Q⊥MC于Q，连结M′E，
∵⊙M与边OB、OA相切，
∴MM′∥OB，MC=2

3

，
∵M′H⊥OA，
∴EH=CH=

1

2

EF=

1

2

×6=3，
在Rt△EHM′中，EM′=2

3

，
∴HM′=

EM′2-EH2

=

3

，
∵M′Q⊥MC，
∴四边形M′QCH为矩形，
∴CQ=M′H=

3

，
∴MQ=2

3

-

3

=

3

，
∵∠QM′M=∠AOB=60°，
∴∠QM′M=30°，
∴M′Q=

MQ

3

=1，
∴MM′=2；
当将⊙M水平向左平移，当点M运动到M″位置时，如图2，
作MC⊥OA于C点，M″H⊥OA于H，M″M交OA于D点，
易得MC=2

3

，M′H=

3

，
∵∠MDC=∠M″DH=∠AOB=60°，
∴∠HM″D=30°，∠CMD=30°，
在Rt△HM″D中，M″D=

3

，则DH=

M″D

3

=1，
∴M″D=2DH=2，
在Rt△CDM中，CM=2

3

，则DC=

MC

3

=2，
∴DM=2DC=4，
∴MM″=2+4=6，
综上所述，当⊙M平移的距离为2或6．

故选B．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了垂径定理以及含30°的直角三角形三边的关系．