Question

6．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的直角边OB在x轴上，双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）经过斜边OA的中点C，交另一直角边于点D，连接CD，OCD的面积是3．
（1）求双曲线的解析式；
（2）若OC=2$\sqrt{2}$，求点A的坐标．

Answer 1

分析 （1）过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=$\frac{1}{2}$|k|；
（2）由CE•OE=4，得到OE=$\frac{4}{CE}$，根据勾股定理列方程得到CE=2，得到OE=2，根据三角形的中位线即可得到结论．

解答 解：（1）如图，过C点作CE⊥x轴，垂足为E．
∵Rt△OAB中，∠OBA=90°，
∴CE∥AB，
∵C为Rt△OAB斜边OA的中点C，
∴CE为Rt△OAB的中位线，
∵△OEC∽△OBA，
∴$\frac{OC}{OA}$=$\frac{1}{2}$．
∵双曲线的解析式是y=$\frac{k}{x}$，即xy=k
∴S_△BOD=S_△COE=$\frac{1}{2}$|k|，
∴S_△AOB=4S_△COE=2|k|，
由S_△AOB-S_△BOD=S_△AOD=2S_△DOC=6，得2k-$\frac{1}{2}$k=6，
∴k=4．
∴双曲线的解析式为y=$\frac{4}{x}$；

（2）∵CE•OE=4，
∴OE=$\frac{4}{CE}$，
∵CE²+OE²=OC²，
即CE²+（$\frac{4}{CE}$）²=（2$\sqrt{2}$）²，
∴CE=2，
∴OE=2，
∵CE为Rt△OAB的中位线，
∴AB=2CE=4，OB=2OE=4，
∴A（4，4）．

点评 本题考查了反比函数k的几何意义，过图象上的任意一点作x轴、y轴的垂线，所得三角形的面积是$\frac{1}{2}$|k|，是经常考查的知识点，也体现了数形结合的思想．