Question

18．如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上的一个动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．
（1）求证：OP=OQ；
（2）若AD=8cm，AB=6cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动（不与D重合）．设点P运动的时间为t秒，请用t表示PD的长；
（3）当t为何值时，四边形PBQD是菱形？

Answer 1

分析 （1）由矩形ABCD中，O为BD的中点，易证得△PDO≌△QBO（ASA），继而证得OP=OQ；
（2）AD=8cm，AP=tcm，即可用t表示PD的长；
（3）由四边形PBQD是菱形，可得PB=PD，即可得AB²+AP²=PD²，继而可得方程6²+t²=（8-t）²，解此方程即可求得答案．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠PDO=∠QBO，
∵O为BD的中点，
∴DO=BO，
在△PDO和△QBO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PDO=∠QBO}\\{DO=BO}\\{∠POD=∠QOB}\end{array}\right.$，
∴△PDO≌△QBO（ASA），
∴OP=OQ；

（2）由题意知：AD=8cm，AP=tcm，
∴PD=8-t，

（3）∵PB=PD，
∴PB²=PD²，
即AB²+AP²=PD²，
∴6²+t²=（8-t）²，
解得 t=$\frac{7}{4}$，
∴当t=$\frac{7}{4}$时，PB=PD．

点评 此题考查了菱形的性质与判定、全等三角形的判定与性质以及矩形的性质．注意利用AB²+AP²=PD²，得方程6²+t²=（8-t）²是解此题的关键．