Question

4．如图，Rt△AOC和Rt△ABD，∠OCA=∠AOB=90°，∠OAC=∠CAB=30°，反比例函数y=$\frac{k}{x}$在第一象限的图象经过点B，若OA²-AB²=4，则k的值为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 设OC=a，BD=b，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AC=$\sqrt{3}$a，OA=2a，AD=$\sqrt{3}$b，AB=2b，则B（a+b，$\sqrt{3}$a-$\sqrt{3}$b），根据反比例函数图象上点的坐标特征得k=（a+b）（$\sqrt{3}$a-$\sqrt{3}$b）=$\sqrt{3}$（a²-b²），再利用OA²-AB²=4得到a²-b²=1，所以k=$\sqrt{3}$．

解答 解：设OC=a，BD=b，
∵Rt△AOC和Rt△ABD，∠OCA=∠AOB=90°，∠OAC=∠CAB=30°，
∴AC=$\sqrt{3}$a，OA=2a，AD=$\sqrt{3}$b，AB=2b，
∴B（a+b，$\sqrt{3}$a-$\sqrt{3}$b），
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$在第一象限的图象经过点B，
∴k=（a+b）（$\sqrt{3}$a-$\sqrt{3}$b）=$\sqrt{3}$（a²-b²），
∵OA²-AB²=4，
∴4a²-4b²=4，即a²-b²=1，
∴k=$\sqrt{3}$．
故答案为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．