Question

19．如果一个点与另外两个点能构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．例如：矩形ABCD中，点C与A、B两点可构成直角三角形ABC，则称点C为A、B两点的勾股点，同样，点D也是A、B两点的勾股点．
（1）如图①，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，请在边CD上作出A、B两点的勾股点（点C和点D除外）．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）如图②，矩形ABCD中，若AB=3，BC=1，点P在边CD上（点C和点D除外），且点P为A、B两点的勾股点，求DP的长．

Answer 1

分析 （1）作线段DC的垂直平分线，垂直平分线与DC的交点即为所求作的点；
（2）由∠APB=90°，可证明∠DAP=CPB，由∠D=∠C可知证明△DPA∽△BCP，由相似三角形的性质可知$\frac{DP}{AD}=\frac{CB}{PC}$，设DP=x，则PC=3-x，则$\frac{x}{1}=\frac{1}{3-x}$，从而可解得x的值．

解答 解：（1）如图所示：点E即为所求．

（2）如图②所示：

∵△ABP为直角三角形，
∴∠APB=90°．
∴∠DPA+∠CPB=90°．
∵∠DAP+APD=90°，
∴∠DAP=CPB．
又∵∠D=∠C，
∴△DPA∽△BCP．
∴$\frac{DP}{AD}=\frac{CB}{PC}$．
设DP=x，则PC=3-x，则$\frac{x}{1}=\frac{1}{3-x}$．
解得：x=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$．
∴DP=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题主要考查的是作图应用与设计、相似三角形的性质和判定，根据相似三角形的性质得到关于x的方程是解题的关键．