Question

7．已知，如图△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：∠3=∠4．

Answer 1

分析 根据等腰三角形的性质得到∠DBC=∠DCB，再结合∠1=∠2，利用等量相加和相等可得∠ABC=∠ACB，从而可知△ABC是等腰三角形，于是AB=AC，再结合BD=DC，∠1=∠2，利用SAS可证△ABD≌△ACD，从而有∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC．

解答 证明：如右图所示，
∵BD=DC，
∴∠DBC=∠DCB，
又∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DBC=∠2+∠DCB，
即∠ABC=∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形，
∴AB=AC，
在△ABD和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{∠1=∠2}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴∠3=∠4．

点评 本题考查了等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明△ABC是等腰三角形．