Question

2．在△ABC中，AD平分∠BAC，AB=AC+CD，则∠B：∠C=1：2．

Answer 1

分析 根据题意画出图形，AB上截取AC′=AC，依据SAS证明△ACD≌△AC′D，由全等三角形的性质可知DC=C′D，∠C=∠AC′D．根据题意可知BC′=C′D，于是得到∠B=∠BDC′由三角形外角的性质可知∠B+∠BDC′=∠AC′D，故此2∠B=∠C．

解答 解：如图所示：在AB上截取AC′=AC．

∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠C′AD．
∵在△ACD和△AC′D中
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AC′}\\{∠CAD=∠C′AD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△AC′D．
∴DC=C′D，∠C=∠AC′D．
∵AB=AC+CD，AC′=AC，
∴BC′=C′D．
∴∠B=∠BDC′．
∵∠B+∠BDC′=∠AC′D，
∴2∠B=∠C．
∴∠B：∠C=1：2．
故答案为：1：2．

点评 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定、三角形的外角的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．