Question

14．如图，在Rt△ABC中．∠ACB=90°，∠B=30°，CB=3$\sqrt{3}$，点D是平面上一点且CD=2，点P为线段AB上一动点．当△ABC绕点C任意旋转时，在旋转过程中线段DP长度的最大值为2+3$\sqrt{3}$，最小值为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-2．

Answer 1

分析 作CM⊥AB于M，由已知条件得出AC=3，AB=2AC=6，由三角形的面积求出CM，由AC＜BC，当点D在BC延长线上，P与B重合时，得出DP最大长度=CD+BC；当P与M重合，旋转过程中D在CM上时，得出DP最小值=CM-CD即可．

解答 解：作CM⊥AB于M，如图所示：
∵∠ACB=90°，∠B=30°，CB=3$\sqrt{3}$，
∴AC=3，AB=2AC=6，
∴CM=$\frac{AC×BC}{AB}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∵AC＜BC，当点D在BC延长线上，P与B重合时，
DP最大长度=CD+BC=2+3$\sqrt{3}$；
当P与M重合，旋转过程中D在CM上时，DP最小值=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-2．
故答案为：2+3$\sqrt{3}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-2．

点评 本题考查了旋转的性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形面积的计算方法；本题有一定难度，得出旋转过程中线段DP长度的最大值与最小值是解决问题的关键．