Question

12．如图1，已知抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；
（3）如图2，若异于点A的点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，求点N的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求二次函数解析式进而得出答案即可；
（2）根据已知条件可求出OB的解析式为y=x，则向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x-m．由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m的值和D点坐标；
（3）设点N（n，$\frac{1}{4}$n+3），又点N在抛物线y=x²-3x上，代入抛物线的解析式即可求出n的值，进而得到N的坐标；

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）
∴将A与B两点坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b=0}\\{16a+4b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式是y=x²-3x．

（2）设直线OB的解析式为y=k₁x，由点B（4，4），
得：4=4k₁，
解得：k₁=1．
∴直线OB的解析式为y=x，
∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x-m，
∵点D在抛物线y=x²-3x上，
∴可设D（x，x²-3x），
又∵点D在直线y=x-m上，
∴x²-3x=x-m，即x²-4x+m=0，
∵抛物线与直线只有一个公共点，
∴△=16-4m=0，
解得：m=4，
此时x₁=x₂=2，y=x²-3x=-2，
∴D点的坐标为（2，-2）．

（3）∵直线OB的解析式为y=x，且A（3，0），
∴点A关于直线OB的对称点A′的坐标是（0，3），
根据轴对称性质和三线合一性质得出∠A′BO=∠ABO，
设直线A′B的解析式为y=k₂x+3，过点（4，4），
∴4k₂+3=4，解得：k₂=$\frac{1}{4}$，
∴直线A′B的解析式是y=$\frac{1}{4}$x+3，
∵∠NBO=∠ABO，∠A′BO=∠ABO，
∴BA′和BN重合，
即点N在直线A′B上，
∴设点N（n，$\frac{1}{4}$n+3），又点N在抛物线y=x²-3x上，
∴$\frac{1}{4}$=n²-3n，
解得：n₁=-$\frac{3}{4}$，n₂=4（不合题意，舍去）
∴N点的坐标为（-$\frac{3}{4}$，$\frac{45}{16}$）．

点评 本题是基于二次函数的代数几何综合题，综合考查了待定系数法求抛物线解析式、一次函数（直线）的平移、一元二次方程根的判别式、翻折变换、旋转变换以及相似三角形等重要知识点．本题将初中阶段重点代数、几何知识熔于一炉，难度很大，对学生能力要求极高，具有良好的区分度，是一道非常好的中考压轴题．