Question

15．已知△ABC的面积是1，A₁、B₁、C₁分别是△ABC三边上的中点，△A₁B₁C₁的面积记为S₁；A₂、B₂、C₂分别是△A₁B₁C₁三边上的中点，△A₂B₂C₂的面积记为S₂；以此类推，则△A₄B₄C₄的面积S₄是（　　）

• A． $\frac{1}{16}$
• B． $\frac{1}{64}$
• C． $\frac{1}{128}$
• D． $\frac{1}{256}$

Answer 1

分析 由于A₁、B₁、C₁分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，就可以得出△A₁B₁C₁∽△ABC，且相似比为$\frac{1}{2}$，就可求出S${\;}_{△{A}_{1}B{{\;}_{1}C}_{1}}$=$\frac{1}{4}$s_△ABC=$\frac{1}{4}$×1=$\frac{1}{4}$，同样地方法得出S${\;}_{△{A}_{2}{B}_{2}{C}_{2}}$=$\frac{1}{16}$，即可得出答案．

解答 解：∵A₁、B₁、C₁分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，
∴A₁B₁、A₁C₁、B₁C₁是△ABC的中位线，
∴△A₁B₁C₁∽△ABC，且相似比为$\frac{1}{2}$，
∴S_△A1B1C1：S_△ABC=1：4，且S_△ABC=1，
∴S_△A1B1C1=$\frac{1}{4}$，
∵A₂、B₂、C₂分别是△A₁B₁C₁的边B₁C₁、C₁A₁、A₁B₁的中点，
∴△A₁B₁C₁的∽△A₂B₂C₂且相似比为$\frac{1}{2}$，
∴S_△A2B₂C₂=$\frac{1}{16}$，
依此类推：S${\;}_{△A{{\;}_{4}B}_{4}{C}_{4}}$=$\frac{1}{256}$，
故选D．

点评 本题考查了三角形中位线定理的运用，相似三角形的判定与性质的运用，能根据求出的数得出规律是解此题的关键．