Question

4．如图，矩形ABCD中，点B的坐标是（4，3），直线l平行于对角线AC，直线l从原点出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度运动，与矩形OABC的两边分别交于点M，N，当MN=$\frac{1}{2}$AC时，直线l运动的时间是（　　）

• A． 2秒
• B． 6秒
• C． 2秒或6秒
• D． 4秒或8秒

Answer 1

分析 分为两种情况：①当M、N分别在OA、OC上时，可证明△OMN∽△OAC，由题意可求得OM的长，即可求得t的值；
②当M、N分别在AB、BC上时，可证明△BMN∽△BAC，由题意可求得BM的长，即可由相似三角形的性质求得t的值，综合以上两种情况即是要求的t值．

解答 解：x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，
设直线m运动的时间为t秒，
分为两种情况：
①当M、N分别在OA、OC上时，如图1所示：
∵直线m平行于对角线AC
∴△OMN∽△OAC，
∴$\frac{MN}{AC}=\frac{OM}{OC}$=$\frac{t}{4}$=$\frac{1}{2}$，
解得：t=2；
②当M、N分别在AB、BC上时，如图2所示：
∵直线m平行于对角线AC
∴△BMN∽△BAC，
∴$\frac{MN}{AC}$=$\frac{BM}{BC}$=$\frac{t-4}{4}$=$\frac{1}{2}$，
解得：t=6．
综上所述，当t=2秒或6秒时，MN=$\frac{1}{2}$AC；
故选：C．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理；证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键；注意分类讨论．