Question

15．如图，△ABC内接于⊙O，AE⊥BC于D，交⊙O于E，AF为⊙O的直径．
（1）求证：∠BAF=∠CAE；
（2）求证：AB•AC=AD•AF；
（3）若过O作0N⊥AB于N，则ON与CE之间有何数量关系？

Answer 1

分析 （1）由等弧所对的圆周角相等可知∠AFB=∠ACB，然后由∠ABF=∠ADC，可证明∠BAF=∠CAE；
（2）由∠ABF=∠ADC，∠AFB=∠ACB可知△ABF∽△ADC，由相似三角形的性质可知AB•AC=AD•AF；
（3）由∠BAF=∠CAE，可知BF=CE，然后证明ON是△ABF的中位线，从而得到ON=$\frac{1}{2}BF$，于是可得到ON=$\frac{1}{2}EC$．

解答 解：（1）∵AF是⊙O的直径，
∴∠ABF=90°．
∴∠BAF+∠BFA=90°．
∵AE⊥BC，
∴∠ADC=90°．
∴∠DAC+∠C=90°．
∵∠F=∠C，
∴∠BAF=∠CAE．
（2）∵∠ABF=∠ADC=90°，∠F=∠C，
∴△ABF∽△ADC．
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AF}{AC}$．
∴AB•AC=AD•AF．
（3）如图所示：

∵ON⊥AB，
∴AN=BN．
又∵OA=0F，
∴ON是△ABF的中位线．
∴ON=$\frac{1}{2}BF$．
∵∠BAF=∠CAE，
∴BF=EC．
∴ON=$\frac{1}{2}EC$．

点评 本题主要考查的是圆周角定理、相似三角形的性质和判定、三角形中位线的性质，证得ON是△ABF的中位线是解题的关键．