Question

9．如图，点B、A、E在同一条直线上，△ABC和△ADE是这条直线上方的两个正三角形，连结BD、CE分别交AC、AD于点F、G，连结FG．求证：△AFG是正三角形．

Answer 1

分析 根据等边三角形的性质得到∠BAC=∠EAD═60°，AB=AC，AD=AE，推出∠BAD=∠CAE，证得△AEC≌△DBC（SAS），根据全等三角形的性质得到∠BDA=∠AEG推出△AFD≌△AEG，根据全等三角形的性质得到CG=CF，由∠DCE=60°，根据等边三角形的判定定理即可得到结论．

解答 证明：∵△ABC和△ADE是这条直线上方的两个正三角形，
∴∠BAC=∠EAD═60°，AB=AC，AD=AE，
∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，
即∠BAD=∠CAE，
∵B，A，E在同一直线上，
∴∠BAE=180°，
∴∠CAD=60°．
∴∠BAC=∠CAD．
在△BAD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠BDA=∠AEG，
在△AFD和△AEG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAD=∠GAE}\\{AD=AE}\\{∠ADF=∠AEG}\end{array}\right.$，
∴△AFD≌△AEG（ASA），
∴CG=CF；
∵∠FAG=60°，
∴△FAG是等边三角形．

点评 本题考查了三角形全等的判定和性质及等边三角形的性质；普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS．同时还要结合等边三角形的性质，创造条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．