Question

4．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AC边上一动点，以BD为边向上作正方形BDEF，O是正方形的对称中心，直线CO分别交BD，EF于点M，N，求证：
（1）EA⊥AB；
（2）CO平分∠ACB．

Answer 1

分析 （1）过E作EH⊥AC交CA的延长线于H，通过△BCD≌△DHE，根据全等三角形的性质得到HE=DC，DH=BC，等量代换得到AC=DH，推出HE=HA，于是得到∠HAE=45°，由∠CAB=45°，得到∠EAB=180°-45°-45°=90°；
（2）连接OB，根据正方形的性质得到BO⊥DO，BO=DO，于是得到∠DCB=∠DOB=90°，推出D，C，B，O四点共圆，根据圆周角定理即可得到结论．

解答 证明：（1）过E作EH⊥AC交CA的延长线于H，在△BCD与△DHE中，$\left\{\begin{array}{l}{ED=BD}\\{∠EDH=∠DBC}\\{∠BCD=∠DE}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△DHE，
∴HE=DC，DH=BC，
∵AC=BC，
∴AC=DH，
∴HC-AC=HC-DH，
即HE=HA，
∴∠HAE=45°，
∵∠CAB=45°，
∴∠EAB=180°-45°-45°=90°，
∴EA⊥AB；

（2）连接OB，
∵四边形BDEF是正方形，
∴BO⊥DO，BO=DO，
∴∠DCB=∠DOB=90°，
∴D，C，B，O四点共圆，
∴∠OCB=∠ODB=45°，
∴CO平分∠ACB．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．