Question

12．如图，E是四边形ABCD的DC边上一点，CE=$\sqrt{2}$，AB=2，BC=$\sqrt{3}+1$，∠D=90°，∠B=60°，S_{四边形ABCE}=$\frac{3+2\sqrt{3}}{2}$
（1）求AC的长；
（2）∠ACD的度数．

Answer 1

分析 （1）作CM⊥AB于M，则∠CMB=∠CMA=90°，求出∠BCM=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出BM=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，求出CM=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，得出AM，由勾股定理求出AC即可；
（2）由四边形ABCE的面积=△ABC的面积+△ACE的面积，求出AD的长，得出AD=$\frac{1}{2}$AC，即可得出∠ACD=30°．

解答 解：（1）作CM⊥AB于M，如图所示：
则∠CMB=∠CMA=90°，
∵∠B=60°，
∴∠BCM=30°，
∴BM=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
∴CM=$\sqrt{3}$BM=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，AM=AB-BM=2-$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$=$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$，
∴AC=$\sqrt{A{M}^{2}+C{M}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{3-\sqrt{3}}{2}）^{2}+（\frac{3+\sqrt{3}}{2}}）^{2}$=$\sqrt{6}$；
（2）∵四边形ABCE的面积=△ABC的面积+△ACE的面积=$\frac{3+2\sqrt{3}}{2}$，
即$\frac{1}{2}$×2×$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×AD=$\frac{3+2\sqrt{3}}{2}$，
解得：AD=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC，
∵∠D=90°，
∴∠ACD=30°．

点评 本题是面积及等积变换综合题目，考查了含30°角的直角三角形的性质与判定、勾股定理、三角形面积的计算方法等知识点；本题综合性强，有一定难度，特别是（1）中，需要通过作辅助线运用勾股定理才能得出结果．