Question

13．设x₁，x₂是一元二次方程2x²-5x+1=0的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值：
（1）（x₁-3）（x₂-3）
（2）（x₁+1）²+（x₂+1）²．

Answer 1

分析 根据x₁，x₂是一元二次方程2x²-5x+1=0的两个根，得出x₁+x₂和x₁x₂的值，再把要求的式子进行整理即可得出答案．

解答 解：∵x₁，x₂是一元二次方程2x²-5x+1=0的两个根，
∴x₁+x₂=$\frac{5}{2}$，x₁•x₂=$\frac{1}{2}$，
∵（1）（x₁-3）（x₂-3）=x₁x₂-3（x₁+x₂）+9=$\frac{1}{2}$-3×$\frac{5}{2}$+9=2；
（2）（x₁+1）²+（x₂+1）²=x₁²+2x₁+1+x₂²+2x₂+1=（x₁+x₂）²-2x₁x₂+2（x₁+x₂）+2=（$\frac{5}{2}$）²-2×$\frac{1}{2}$+2×$\frac{5}{2}$+2=$\frac{49}{4}$．

点评 此题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．