Question

操作：小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒，现选用一些废弃的纸片进行如下设计：

说明：

方案一：图形中的圆过点A、B、C；

方案二：直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合，斜边经过两个正方形的顶点

纸片利用率=×100%

发现：

（1）方案一中的点A、B恰好为该圆一直径的两个端点．你认为小明的这个发现是否正确，请说明理由．

（2）小明通过计算，发现方案一中纸片的利用率仅约为38.2%．请帮忙计算方案二的利用率，并写出求解过程．

探究：

（3）小明感觉上面两个方案的利用率均偏低，又进行了新的设计（方案三），请直接写出方案三的利用率．

说明：方案三中的每条边均过其中两个正方形的顶点．

Answer 1

【考点】相似三角形的判定与性质；几何体的展开图；勾股定理；圆周角定理．

【专题】几何综合题；压轴题；数形结合．

【分析】（1）连接AC、BC、AB，由AC=BC=，AB=，根据勾股定理的逆定理，即可求得∠BAC=90°，又由90°的圆周角所对的弦是直径，则可证得AB为该圆的直径；

（2）首先证得△ADE≌△EHF与△ADE∽△ACB，即可求得AD与BC的长，求得△ABC的面积，即可求得该方案纸片利用率；

（3）利用方案（2）的方法，分析求解即可求得答案．

【解答】解：发现：（1）小明的这个发现正确．

理由：

解法一：如图一：连接AC、BC、AB，

∵AC=BC=，AB=2

∴AC²+BC²=AB²，

∴∠BCA=90°，

∴AB为该圆的直径．

解法二：如图二：连接AC、BC、AB．

易证△AMC≌△BNC，

∴∠ACM=∠CBN．

又∵∠BCN+∠CBN=90°，

∴∠BCN+∠ACM=90°，

即∠BCA=90°，

∴AB为该圆的直径．

（2）如图三：∵DE=FH，DE∥FH，

∴∠AED=∠EFH，

∵∠ADE=∠EHF=90°，

∴△ADE≌△EHF（ASA），

∴AD=EH=1．

∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ACB，

∴=，

∴=，

∴BC=8，

∴S_△ACB=16．

∴该方案纸片利用率=×100%=×100%=37.5%；

探究：（3）过点C作CD⊥EF于D，过点G作GH∥AC，交BC于点H，

设AP=a，

∵PQ∥EK，

易得△APQ∽△KQE，△CEF是等腰三角形，△GHL是等腰三角形，

∴AP：AQ=QK：EK=1：2，

∴AQ=2a，PQ=a，

∴EQ=5a，

∵EC：ED=QE：QK，

∴EC=a，

则PG=5a+a=a，GL=a，

∴GH=a，

∵，

解得：GB=a，

∴AB=a，AC=a，

∴S_△ABC=×AB×AC=a²，

S_{展开图面积}=6×5a²=30a²，

∴该方案纸片利用率=×100%=×100%=49.86%．

【点评】此题考查了圆周角的性质，相似三角形与全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理等知识．此题综合性很强，难度较大，解题时要注意数形结合思想的应用．