Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（1，0）、B（3，0）．抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣4的顶点为P，与y轴的交点为Q．

（1）填空：点P的坐标为；点Q的坐标为（均用含m的代数式表示）
（2）当抛物线经过点A时，求点Q的坐标．
（3）连接QA、QB，设△QAB的面积为S，当抛物线与线段AB有公共点时，求S与m之间的函数关系式．
（4）点P、Q不重合时，以PQ为边作正方形PQMN（P、Q、M、N分别按顺时针方向排列）．当正方形PQMN的四个顶点中，位于x轴两侧或y轴两侧的顶点个数相同时，直接写出此时m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）（m,﹣4）,（0,m2﹣4）
（2）解：将A（1，0）代入y=x2﹣2mx+m2﹣4中，

得到1﹣2m+m2﹣4=0，

解得m=﹣1或3，

当m=﹣1时，m2﹣4=﹣3，点Q的坐标为（0，﹣3），

当m=3时，m2﹣4=5，点Q的坐标为（0，5）．

（3）解：如图1中，

由题意 ，解得﹣1≤m≤1，

∴当﹣1≤m＜≤时，S= ABOQ= 2（4﹣m2）=4﹣m2．

如图2中，

由题意 ，解得3≤m≤5，

当3≤m≤5时，S= ABOQ=m2﹣4．

（4）解：如图3中，如图当点N在y轴上时，满足条件，易知m2﹣4=﹣3，解得m=﹣1或1（舍弃）．

如图4中，作ME⊥y轴于E，PF⊥y轴于F．

由△MEQ≌△QFP，可得QE=PF=﹣m，可得点M的纵坐标为m2﹣4+m，

当m2+m﹣4＞0时，满足条件，

解得m＜ 或m＞ （舍弃）

如图5中，同法可得， 时满足条件，解得2＜m＜4．

如图6中，同法可得 时满足条件，此不等式无解．

综上所述，满足条件的m的范围是m＜ 或m=﹣1或2＜m＜4．

【解析】解：（1）∵y=x2﹣2mx+m2﹣4=（x﹣m）2﹣4，

∴顶点P（m，﹣4），

令x=0，得到y=m2﹣4，

∴Q（0，m2﹣4）．

所以答案是（m，﹣4），（0，m2﹣4）．