Question

【题目】如图AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PC=2PB．

（1）探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由；
（2）若AD=3，求AB长．

Answer 1

【答案】
（1）解：线段PB，AB之间的数量关系为：AB=3PB．

理由：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠BAC+∠ABC=90°，

∵OB=OC，

∴∠OCB=∠ABC，

∵∠PCB+∠OCB=90°，

∴∠PCB=∠PAC，

∵∠P是公共角，

∴△PCB∽△PAC，

∴ = ，

∴PC2=PBPA，

∵PB：PC=1：2，

∴PC=2PB，

∴PA=4PB，

∴AB=3PB；

（2）解：过点O作OH⊥AD于点H，则AH= AD= ，四边形OCEH是矩形，

∴OC=HE，

∴AE= +OC，

∵OC∥AE，

∴△PCO∽△PEA，

∴ = ，

∵AB=3PB，AB=2OB，

∴OB= PB，

∴ = = ，

∴OC= ，

∴AB=5，

【解析】（1）利用切线性质定理可证出∠PCB=∠PAC，再加上∠P是公共角，得出△PCB∽△PAC，对应边成比例可得出PA=4PB，即AB=3PB；（2）证出△PCO∽△PEA，得出对应边成比例，求出半径OC=2.5,进而求出直径AB=5.
【考点精析】解答此题的关键在于理解切线的性质定理的相关知识，掌握切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径．