【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx﹣3(a≠0)与x轴交于点A(﹣2,0)、B(4,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P从A点出发,在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动,同时点Q从B点出发,在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动,其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动,当△PBQ存在时,求运动多少秒使△PBQ的面积最大,最大面积是多少?
(3)当△PBQ的面积最大时,在BC下方的抛物线上存在点K,使S△CBK:S△PBQ=5:2,求K点坐标.
【答案】
(1)解:把点A(﹣2,0)、B(4,0)分别代入y=ax2+bx﹣3(a≠0),得
,
解得 ,
所以该抛物线的解析式为:y= x2﹣ x﹣3;
(2)解:设运动时间为t秒,则AP=3t,BQ=t.
∴PB=6﹣3t.
由题意得,点C的坐标为(0,﹣3).
在Rt△BOC中,BC= =5.
如图1,过点Q作QH⊥AB于点H.
∴QH∥CO,
∴△BHQ∽△BOC,
∴ = ,即 = ,
∴HQ= t.
∴S△PBQ= PBHQ= (6﹣3t) t=﹣ t2+ t=﹣ (t﹣1)2+ .
当△PBQ存在时,0<t<2
∴当t=1时,
S△PBQ最大= .
答:运动1秒使△PBQ的面积最大,最大面积是 ;
(3)解:设直线BC的解析式为y=kx+c(k≠0).
把B(4,0),C(0,﹣3)代入,得
,
解得 ,
∴直线BC的解析式为y= x﹣3.
∵点K在抛物线上.
∴设点K的坐标为(m, m2﹣ m﹣3).
如图2,过点K作KE∥y轴,交BC于点E.则点E的坐标为(m, m﹣3).
∴EK= m﹣3﹣( m2﹣ m﹣3)=﹣ m2+ m.
当△PBQ的面积最大时,∵S△CBK:S△PBQ=5:2,S△PBQ= .
∴S△CBK= .
S△CBK=S△CEK+S△BEK= EKm+ EK(4﹣m)
= ×4EK
=2(﹣ m2+ m)
=﹣ m2+3m.
即:﹣ m2+3m= .
解得 m1=1,m2=3.
∴K1(1,﹣ ),K2(3,﹣ ).
【解析】方法二:(1)略.(2)设运动时间为t秒,则AP=3t,BQ=t,PB=6﹣3t,
∴点C的坐标为(0,﹣3),
∵B(4,0),∴lBC:y= x﹣3,
过点Q作QH⊥AB于点H,
∴tan∠HBQ= ,∴sin∠HBQ= ,
∵BQ=t,∴HQ= t,
∴S△PBQ= PBHQ= =﹣ ,
∴当t=1时,S△PBQ最大= .
⑶过点K作KE⊥x轴交BC于点E,
∵S△CBK:S△PBQ=5:2,S△PBQ= ,
∴S△CBK= ,
设E(m, m﹣3),K(m, ),
S△CBK= = =﹣ ,
∴﹣ = ,
∴m1=1,m2=3,
∴K1(1,﹣ ),K2(3,﹣ ).
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AC=BD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,且EG、FH交于点O.若AC=4,则EG2+FH2=______.
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【题目】如图AB是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,AE和过点C的切线互相垂直,垂足为E,AE交⊙O于点D,直线EC交AB的延长线于点P,连接AC,BC,PC=2PB.
(1)探究线段PB,AB之间的数量关系,并说明理由;
(2)若AD=3,求AB长.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线l1:y=x与直线l2交点A的横坐标为2,将直线l1沿y轴向下平移4个单位长度,得到直线l3,直线l3与y轴交于点B,与直线l2交于点C,点C的纵坐标为-2.直线l2与y轴交于点D.
(1)求直线l2的解析式;
(2)求△BDC的面积.
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【题目】如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,BE平分∠ABC交AC边于E,两线相交于F点.
(1)若∠BAC=60°,∠C=70°,求∠AFB的大小;
(2)若D是BC的中点,∠ABE=30°,求证:△ABC是等边三角形.
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【题目】把一副扑克牌中的三张黑桃牌(它们的正面数字分别为3、4、5)洗匀后正面朝下放在桌面上.小王和小李玩摸牌游戏,游戏规则如下:先由小王随机抽取一张牌,记下牌面数字后放回,洗匀后正面朝下,再由小李随机抽取一张牌,记下牌面数字.当两张牌的牌面数字相同时,小王赢;当两张牌的牌面数字不同时,小李赢.现请你分析游戏规则对双方是否公平,并说明理由.
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【题目】已知, 四边形, 连接,,.
(1)如图, 求证:平分;
(2)如图,点在的延长线上,连接交于点,求证:;
(3)如图3,在的条件下,连接,点在延长线上,连接,延长与延长线交于点, 若,, 的面积与的面积比为, ,,求的长.
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【题目】综合题
(1)如图1,锐角△ABC中,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,AD与BE交于F,连DE,求证:DFDA=DBDC;
(2)如图2,若∠BAC=90°,AD⊥BC于D,F为线段AD上一点,在AD延长线上找一点G使AD2=DFDG,请画出图形找出点G并加以证明;
(3)如图3,在(1)的条件下,若∠ABC=45°,EF=1,EC=3,直接写出BD长.
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