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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx﹣3(a≠0)与x轴交于点A(﹣2,0)、B(4,0)两点,与y轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式;
(2)点P从A点出发,在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动,同时点Q从B点出发,在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动,其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动,当△PBQ存在时,求运动多少秒使△PBQ的面积最大,最大面积是多少?
(3)当△PBQ的面积最大时,在BC下方的抛物线上存在点K,使SCBK:SPBQ=5:2,求K点坐标.

【答案】
(1)解:把点A(﹣2,0)、B(4,0)分别代入y=ax2+bx﹣3(a≠0),得

解得

所以该抛物线的解析式为:y= x2 x﹣3;


(2)解:设运动时间为t秒,则AP=3t,BQ=t.

∴PB=6﹣3t.

由题意得,点C的坐标为(0,﹣3).

在Rt△BOC中,BC= =5.

如图1,过点Q作QH⊥AB于点H.

∴QH∥CO,

∴△BHQ∽△BOC,

= ,即 =

∴HQ= t.

∴SPBQ= PBHQ= (6﹣3t) t=﹣ t2+ t=﹣ (t﹣1)2+

当△PBQ存在时,0<t<2

∴当t=1时,

SPBQ最大=

答:运动1秒使△PBQ的面积最大,最大面积是


(3)解:设直线BC的解析式为y=kx+c(k≠0).

把B(4,0),C(0,﹣3)代入,得

解得

∴直线BC的解析式为y= x﹣3.

∵点K在抛物线上.

∴设点K的坐标为(m, m2 m﹣3).

如图2,过点K作KE∥y轴,交BC于点E.则点E的坐标为(m, m﹣3).

∴EK= m﹣3﹣( m2 m﹣3)=﹣ m2+ m.

当△PBQ的面积最大时,∵SCBK:SPBQ=5:2,SPBQ=

∴SCBK=

SCBK=SCEK+SBEK= EKm+ EK(4﹣m)

= ×4EK

=2(﹣ m2+ m)

=﹣ m2+3m.

即:﹣ m2+3m=

解得 m1=1,m2=3.

∴K1(1,﹣ ),K2(3,﹣ ).


【解析】方法二:(1)略.(2)设运动时间为t秒,则AP=3t,BQ=t,PB=6﹣3t,

∴点C的坐标为(0,﹣3),

∵B(4,0),∴lBC:y= x﹣3,

过点Q作QH⊥AB于点H,

∴tan∠HBQ= ,∴sin∠HBQ=

∵BQ=t,∴HQ= t,

∴SPBQ= PBHQ= =﹣

∴当t=1时,SPBQ最大=

⑶过点K作KE⊥x轴交BC于点E,

∵SCBK:SPBQ=5:2,SPBQ=

∴SCBK=

设E(m, m﹣3),K(m, ),

SCBK= = =﹣

∴﹣ =

∴m1=1,m2=3,

∴K1(1,﹣ ),K2(3,﹣ ).

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