Question

7．如图1，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，有一过点C的动圆⊙O与斜边AB相切于动点P，连接CP．⊙O
的半径为r．
（1）当⊙O与直角边AC相切时，如图2所示，求此时⊙O的半径r的长；
（2）若弦CP=2.5时，求AP的长；
（3）当切点P运动到点B处时，⊙O的半径r有最大值，试求出这个最大值．

Answer 1

分析 （1）先根据勾股定理求出AB的长，再由切线的性质求出PB的长，过P作PQ⊥BC于Q，过O作OR⊥PC于R，根据PQ∥AC得出PC的长，再由△COR∽△CPQ即可得出r的值；
（2）过C作CD⊥AB于D，根据三角形的面积公式求得CD=$\frac{AC•BC}{AB}$=2.4，根据勾股定理求出AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=1.8，PD=$\sqrt{P{C}^{2}-C{D}^{2}}$=0.7，即可得到结论；
（3）当P与B重合时，圆最大．这时O在BD的垂直平分线上，过O作OD⊥BC于D，由BD=$\frac{1}{2}$BC=2，由于AB是切线可知∠ABO=90°，∠ABD+∠OBD=∠BOD+∠OBD=90°，故可得出∠ABC=∠BOD，根据锐角三角函数的定义即可得出结论．

解答 解：（1）如图1，∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5．
∵AC、AP都是圆的切线，圆心在BC上，AP=AC=3，
∴PB=2，
过P作PQ⊥BC于Q，过O作OR⊥PC于R，
∵PQ∥AC，
∴$\frac{PQ}{PB}$=$\frac{BQ}{BC}$=$\frac{PB}{AB}$=$\frac{2}{5}$，
∴PQ=$\frac{6}{5}$，BQ=$\frac{8}{5}$，
∴CQ=BC-BQ=$\frac{12}{5}$，
∴PC=$\sqrt{P{Q}^{2}+C{Q}^{2}}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∵点O是CE的中点，
∴CR=$\frac{1}{2}$PC=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴∠PCE=∠PCE，∠CRO=∠CQP，
∴△COR∽△CPQ，
∴$\frac{OC}{CR}$=$\frac{PC}{CQ}$，即$\frac{r}{\frac{3\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{\frac{6\sqrt{5}}{5}}{\frac{12}{5}}$，解得r=$\frac{3}{2}$；

（2）如图2，过C作CD⊥AB于D，
∴CD=$\frac{AC•BC}{AB}$=2.4，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=1.8，PD=$\sqrt{P{C}^{2}-C{D}^{2}}$=0.7，
∴AP₁=AD-P₁D=1.1；AP₂=AD+P₂D=2.5；

（3）如图3，当P与B重合时，圆最大．O在BC的垂直平分线上，过O作OD⊥BC于D，由BD=$\frac{1}{2}$BC=2，
∵AB是切线，
∴∠ABO=90°，
∴∠ABD+∠OBD=∠BOD+∠OBD=90°，
∴∠ABC=∠BOD，
∴$\frac{BD}{OB}$=sin∠BOD=sin∠ABC=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{3}{5}$，
∴OB=$\frac{10}{3}$，即半径最大值为$\frac{10}{3}$．

点评 本题考查的是圆的综合题，熟知切线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识是解答此题的关键．