Question

【题目】先仔细阅读材料，再尝试解决问题：

完全平方公式x2±2xy+y2=（x±y）2及（x±y）2的值恒为非负数的特点在数学学习中有着广泛的应用，比如探求多项式2x2+12x﹣4的最大（小）值时，我们可以这样处理：

解：原式=2（x2+6x﹣2）

=2（x2+6x+9﹣9﹣2）

=2[（x+3）2﹣11]

=2（x+3）2﹣22

因为无论x取什么数，都有（x+3）2的值为非负数，所以（x+3）2的最小值为0，此时x=﹣3，进而2（x+3）2﹣22的最小值是2×0﹣22=﹣22，所以当x=﹣3时，原多项式的最小值是﹣22

解决问题：

请根据上面的解题思路，探求

（1）多项式3x2﹣6x+12的最小值是多少，并写出对应的x的取值．

（2）多项式﹣x2﹣2x+8的最大值是多少，并写出对应的x的取值．

Answer 1

【答案】（1）当x=1时，原多项式的最小值是9；（2）当x=﹣1时，原多项式的最大值是9．

【解析】

试题分析：（1）先把给出的式子化成完全平方的形式，再根据非负数的性质即可得出答案；

（2）根据完全平方公式把给出的式子进行整理，即可得出答案．

解：（1）3x2﹣6x+12

=3（x2﹣2x+4）

=3（x2﹣2x+1﹣1+4）

=3（x﹣1）2+9，

∵无论x取什么数，都有（x﹣1）2的值为非负数，

∴（x﹣1）2的最小值为0，此时x=1，

∴3（x﹣1）2+9的最小值为：3×0+9=9，

则当x=1时，原多项式的最小值是9；

（2）﹣x2﹣2x+8

=﹣（x2+2x﹣8）

=﹣（x2+2x+1﹣1﹣8）

=﹣（x+1）2+9，

∵无论x取什么数，都有（x+1）2的值为非负数，

∴（x+1）2的最小值为0，此时x=﹣1，

∴﹣（x+1）2+9的最大值为：﹣0+9=9，

则当x=﹣1时，原多项式的最大值是9．