Question

如图，△ABC中，AD、CE相交于G，若点G是△ABC 的重心．
（1）求证：△BDE∽△BCA；
（2）若∠ACB=90°，（BC-6）²=0，求DG的长．

Answer 1

（1）证明：∵点G是△ABC的重心，
∴点D、E分别是BC、AB的中点，即BE=AE，BD=CD，
∴=，又∠B为公共角，
∴△BDE∽△BCA．

（2）解：∵（BC-6）²=0
∴AD、CE是△ABC的中线，
∴AC=3，CB=6
∴==
∵由（1）知AD是△ABC的中线
∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BCA，
∴CD=3，
∵在直角△ABC中，∠ACB=90°
∴AD==3，
∵点G是△ABC的重心，
∴DG=AD=．
分析：（1）由对应边成比例且夹角相等即可得三角形相似；
（2）由题中条件可得AC，BC的长，再由△BDE∽△BCA，得出CD的长，再由勾股定理求解AD的长，即可求解DG的长．
点评：本题主要考查了相似三角形的判定及性质以及重心、勾股定理的运用，另外涉及数学上的算术平方根，偶次方根等问题，应熟练掌握．