Question

如图，△ABC是边长为9cm的等边三角形，D、E是边BC、BA上的动点，D点由B点开始以1cm/秒的速度向C点运动，E点由B点开始以2cm/秒的速度向A点运动，D、E同时出发，设运动时间为t，当其中一点到达边的端点时，运动便停止，在运动过程始终保持∠EDF=60°．
（1）求证：∠EDB=∠DFC；
（2）当t=3秒时，求BE+CF的值；
（3）是否存在这样的t值，使得CF=

9

4

cm？若存在，试求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：等边三角形的性质

专题：动点型

分析：（1）利用∠CDF+∠EDB=120°和∠CDF+∠DFC=120°求证即可．
（2）利用△EBD∽△DFC得出

BE

BD

=

CD

CF

，求出CF，即可求出BE+CF的值；
（3）利用△EBD∽△DFC得出

BE

BD

=

CD

CF

=

1

2

，求出CD，BD及BE，利用E点由B点开始以2cm/秒的速度向A点运动，得出时间t．

解答：证明：（1）∵∠EDF=60°，
∴∠CDF+∠EDB=120°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°，
∴∠CDF+∠DFC=120°，
∴∠EDB=∠DFC；
（2）∵D点由B点开始以1cm/秒的速度向C点运动，E点由B点开始以2cm/秒的速度向A点运动，
∴t=3秒，BE=6，BD=3，
∴CD=BC-BD=9-3=6，
∵△EBD∽△DFC，
∴

BE

BD

=

CD

CF

，即

6

3

=

6

CF

，
∴CF=3，
∴BE+CF=6+3=9．
（3）存在，理由如下．
∵△EBD∽△DFC，
∴

BE

BD

=

CD

CF

=

1

2

，
∵CF=

9

4

cm，
∴CD=

9

2

，
∴BD=9-

9

2

=

9

2

，
∴BE=9，即t=

9

2

，
∴当t=

9

2

时，使得CF=

9

4

cm．

点评：本题主要考查了等边三角形的性质及相似三角形，解题的关键是明确△EBD∽△DFC利用对应边的比求解．