Question

6．问题探究：
（1）如图①，△ABC为等腰三角形，AB=AC=a，∠BAC=120°，则△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$（用含a的代数式表示）
（2）如图②，△AOD与△BOC为两个等腰直角三角形，两个直角顶点O重合，OA=OB=OC=OD=a．若△AOD与△BOC不重合，连接AB，CD，求四边形ABCD面积最大值．
问题解决：
如图③，点O为某电视台所在位置，现要在距离电视台5km的地方修建四个电视信号中转站，分别记为A、B、C、D．若要使OB与OC夹角为150°，OA与OD夹角为90°（∠AOD与∠BOC不重合且点O、A、B、C、D在同一平面内），则符合题意的四个中转站所围成的四边形面积有无最大值？如果有，求出最大值，如果没有，请说明理由．

Answer 1

分析 问题探究：（1）根据等腰三角形的性质，求得底边上的高，进而得到△ABC的面积；
（2）过点C作CE⊥OD于E，则CE≤CO，当点E与点O重合时，CE=CO=a，此时∠COD=90°，即△COD是等腰直角三角形，进而得到四边形ABCD是正方形，再根据OA=OB=OC=OD=a，求得四边形ABCD的面积即可；
问题解决：将△COD绕着点O按顺时针方向旋转150°，得到△BOE，过A作AG⊥OB于G，过E作EF⊥OB于F，连接AE交OB于H，则AG≤AH，EF≤EH，当点G、点F都与点H重合时，AG+EF=AE（最大），而OB长不变，故四边形ABEO的面积最大，此时OB⊥AE，进而得出△AOB和△COD都是等边三角形，最后根据△AOB和△COD的面积都为：$\frac{1}{2}$×5×$\frac{5}{2}\sqrt{3}$=$\frac{25}{4}\sqrt{3}$，△AOD的面积为：$\frac{1}{2}$×5×5=$\frac{25}{2}$，△BOC的面积为：$\frac{1}{2}$×5×$\frac{5}{2}$=$\frac{25}{4}$，求得四边形ABCD的面积的最大值．

解答 解：问题探究：
（1）如图①，过A作AD⊥BC于D，则
Rt△ABD中，AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$a，BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴BC=$\sqrt{3}$a，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$BC×AD=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$a×$\frac{1}{2}$a=$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$；

（2）如图②，过点C作CE⊥OD于E，则CE≤CO，
当点E与点O重合时，CE=CO=a，
此时∠COD=90°，即△COD是等腰直角三角形，
∴∠AOB=360°-3×90°=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴四边形ABCD是正方形，
∵OA=OB=OC=OD=a，
∴AB=BC=CD=AD=$\sqrt{2}$a，
∴四边形ABCD面积最大值为：（$\sqrt{2}$a）²=2a²；

问题解决：四边形ABCD面积有最大值．
如图所示，将△COD绕着点O按顺时针方向旋转150°，得到△BOE，
∵OB与OC夹角为150°，OA与OD夹角为90°，
∴∠AOB+∠COD=120°，
∴∠AOB+∠BOE=120°，
即∠AOE=120°，
过A作AG⊥OB于G，过E作EF⊥OB于F，连接AE交OB于H，则AG≤AH，EF≤EH，
∴当点G、点F都与点H重合时，AG+EF=AE（最大），而OB长不变，故四边形ABEO的面积最大，
此时，OB⊥AE，
又∵OA=OE，
∴等腰三角形AOE中，OH平分∠AOE，
∴∠AOB=60°，∠COD=60°，
又∵OA=OB=OC=OD=5，
∴△AOB和△COD都是等边三角形，
∵△AOB和△COD的面积都为：$\frac{1}{2}$×5×$\frac{5}{2}\sqrt{3}$=$\frac{25}{4}\sqrt{3}$，
△AOD的面积为：$\frac{1}{2}$×5×5=$\frac{25}{2}$，
△BOC的面积为：$\frac{1}{2}$×5×$\frac{5}{2}$=$\frac{25}{4}$，
∴四边形ABCD的面积=$\frac{25}{4}\sqrt{3}$×2+$\frac{25}{2}$+$\frac{25}{4}$=$\frac{25}{2}\sqrt{3}$+$\frac{75}{4}$．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质以及三角形的面积计算的综合应用，解决问题的关键是作垂线，构造直角三角形，根据垂线段最短进行判断．解题时注意旋转变换的运用，注意旋转前、后的图形全等．