Question

5．如图，正方形ABCD中，点E在边AB上，且BE=$\sqrt{2}$，AE=3BE，点P在线段AC上的运动，则PE+PB的最小值为5$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得PB=PD，根据两点之间线段最短，可得P点是AC与DE的交点，根据AE=3BE，可得AE的长，根据正方形的性质，可得AD与AB的关系，根据勾股定理，可得答案．

解答 解：如图：，
由B、D点关于AC对称，得
AC上的点到B的距离等于到D的距离．
连接DE交AC于P，BP=DP．
PE+PB=DE．
由BE=$\sqrt{2}$，AE=3BE，得
AE=3$\sqrt{2}$．
由线段的和差，得
AB=AE+BE=4$\sqrt{2}$．
由正方形的性质，得
AD=AB=4$\sqrt{2}$，∠BAD=90°．
由勾股定理，得
DE=$\sqrt{A{E}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{（3\sqrt{2}）^{2}+（4\sqrt{2}）^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
故答案为：5$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了轴对称，利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出PB=PD，利用两点之间线段最短得出P点的位置是解题关键．