Question

4．两块全等的三角板如图1摆放，其中∠A₁CB₁=∠ACB=90°，∠A₁=∠A=30°，BC=1，将图1中的△ABC绕点C顺时针旋转至图2，点P是AC与BA交点，点E是BC上一点，BE⊥BA，则△PBE面积最大值为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{\sqrt{3}}{6}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 先利用含30度的直角三角形三边的关系得∠ABC=60°，AC=$\sqrt{3}$BC=$\sqrt{3}$，AB=2BC=2，设PB=x，则AP=2-x，再证明△CBE∽△CAP，利用相似比得到BE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（2-x），利用三角形面积公式得到S_△PBE=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，然后根据二次函数的性质求△PBE的面积的最大值．

解答 解：在△ACB，∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，
∴∠ABC=60°，AC=$\sqrt{3}$BC=$\sqrt{3}$，AB=2BC=2，
设PB=x，则AP=2-x，
∵BE⊥BA，
∴∠EBC=90°-60°=30°，
∵∠A₁CB₁=∠ACB=90°，
∴∠1=∠2，
而∠CBE=∠A=30°，
∴△CBE∽△CAP，
∴BE：AP=CB：CA，即BE：（2-x）=1：$\sqrt{3}$，
∴BE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（2-x），
∴S_△PBE=$\frac{1}{2}$•BE•PB=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{3}$•（2-x）•x=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$（x-1）²+$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
当x=1时，△PBE的面积最大，最大值为$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
故选B．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了相似三角形的判定与性质和二次函数的性质．